\( \csc^3(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \csc^3(x) \, dx \]

将被积函数 \( \csc^3(x) \) 写成乘积形式 \( \csc x \csc^2 x \)：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = \int \csc x \csc^2 x \, dx \]

使用分部积分法公式：\( \int u' v \, dx = uv - \int u v' \, dx \)。

令 \( u' = \csc^2 x \) 且 \( v = \csc x \)，从而得到 \( u = -\cot x \) 且 \( v' = -\csc x \cot x \)。

代入分部积分公式中得到：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = (-\cot x)(\csc x) - \int (-\cot x)(-\csc x \cot x) \, dx \]

化简表达式：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \, dx \]

使用三角恒等式 \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) 来改写积分：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \, dx \]

展开被积函数：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \int \csc x \, dx \]

使用标准积分 \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| \) 并将其代入表达式中：

\[ \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x - \int \csc^3 x \, dx + \ln|\csc x - \cot x| \]

在两边同时加上 \( \displaystyle \int \csc^3 x \, dx \) 并化简：

\[ 2 \int \csc^3(x) \, dx = -\cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]

将所有项乘以 \( \dfrac{1}{2} \) 并加上积分常数 \( c \)，得到最终答案：